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数学科学的特点与中学数学解说
发布时间:06-12  浏览次数:

  一样平常以为,数学有三个明显特点,这就是抽象性,逻辑精密性,应用普及性,数学的以上三个特点是相互接洽,相互影响,密不行分的,熟悉数学的以上特点,并留意在中学数学解说中正确掌握好数学的特点,具有重要意义。

 

  1.抽象性

 

  所谓抽象就是在头脑平分失事物的一些属性和接洽而撇开另一些属性和接洽的进程。抽象有助于我们撇开各类次要的影响,抽取事物的首要的、本质的特性并在“纯粹的”情势中单独地考查它们,从而确定这些事物的成长纪律,数学以高度抽象的情势呈现,起首是其研究的根基工具的高度抽象性。数学抽象最早产生于一些最根基观念的形成进程中,恩格斯对此作了极其精粹地阐述:“数和形的观念不是从其他任那里所,而是从实际天下中获得来的。人们用来进修计数,也就是作第一次算术运算的十个指头,可所以任何此外对象,但总不是知性的自由缔造物。为了计数,不只要有可以计数的工具,并且还要有一种在考查工具时撇开它们的数以外的其他统统特征的手段,而这种手段是恒久以履历为依据的汗青成长的功效。和数的观念一样,形的观念也完满是从外部天下得来的,而不是从新脑中由纯粹的思想发生出来的。必需先存在具有必然外形的物体,把这些外形加以较量,然后才气组成形的观念。纯数学是以实际天下的空间情势和数目相关,也就是说,以很是实际的原料为工具的。这种原料以十分抽象的情势呈现,这只能在外貌上袒护它来历于外部天下。可是,为了对这些情势和相关能从它们的纯粹形态来加以研究,必需使它们完全离开本身的内容,把内容作为无关紧急的对象放在一边;这样就获得没有长宽高的点,没有厚度和宽度的线,abxy,常数和变数;只是在最后才获得知性自身的自由缔造物和想象物,即虚数,[1]数的观念,点、线、面等几许图形的观念属于最原始的数学观念。在原始观念的基本上又形成有理数、无理数、复数、函数、微分、积分、n维空间以至无限维空间这样一些抽象水平更高的观念。从数学研究的题目来看,数学研究的题目的原始素材可以来自任何规模,着眼点不是素材的内容而是素材的情势,不干系的事物在最的侧面,形的侧面可以泛起相同的模式,好比代数的演算可以描写逻辑的推理以至计较机的运行;流体力学的方程也也许呈此刻金融规模,数学强盛的生命力就在于可以或许把一个规模的头脑颠末抽象进程的提炼而转移到此外规模,纯数学的研究成就经常能在意想不到的处所着花功效。有些外国数学家因为数学研究工具的抽象性,就以为数学是不知其所云为何物,这种熟悉是欠妥的。

 

  数学科学的高度抽象性,抉择命学教诲应该把成长门生的抽象思想手段划定为其曰标。从详细事物抽象出数目相关和空间情势,把现实题目转化为数学题目的科学抽象进程中,可以作育门生的抽象手段。

 

  在作育门生的抽象思想手段的进程中,应该留意从实际现实事物中抽象出数学观念的提炼进程的解说,又要留意不使数学观念陷入某一详细原型的切磋胶葛。譬喻,对付直线观念,就要从门生常见并可以领略的现实配景,如拉紧的线,笔挺的树干和电线杆等事物中抽象出这个观念,声名直线观念是从很多现实原型中抽象出来的一个数学观念,但不要使这个观念的解说酿成对直线的某一详细配景的切磋。光是直线的一个重要现实原型,但假如对付直线观念的解说陷入到对付光的观念的探讨,就会导致对直线观念胶葛不清。光的观念涉及了大量数学和物理的题目,牵扯了近当代几许学与物理学的观念,个中包罗对欧几里得几许第五公设的漫长研究汗青,非欧几许的发生,以及光学,电磁学,时刻,空间,从牛顿力学的绝对时空观,到爱因斯坦的狭义相对论和广义相对论,等等。试图从光的现实配景角度去讲直线的观念,陷入对付光的本质的接头,就使直线的观念解说走入邪路。应该清晰,光不是直线独一的现实原型,直线的现实原型是极其富厚的。

 

  在作育中门生的抽象思想手段方面,要留意的一个题目是应按照中门生的年数生理特点,对中学数学解说内容的抽象水平有所节制,太过抽象的内容对平凡中门生来说是不相宜的(如某些近代数学的观念)。其它,对付抽象观念的进修应该以抽象观念借以成立起来的大最详细观念作为条件和基本,不然,详细常识筹备不足,抽象观念就成为一个现实内容不多的朴陋的事物,门生对付进修这样的抽象观念的重要性和须要性就会熟悉不敷。

 

  2.精密性

 

  所谓数学的精密性,就是要求对付任何数学结论,必需严酷凭证正确的推理法则,按照数学中已经证明和确认的正确的结论(正义、定理、定律、法例、公式等),颠末逻辑推理获得,这就要求获得的结论不能有丝毫的主观臆断性和单方面性。数学的精密性与数学的抽象性有细密的接洽,正由于数学有高度的抽象性,以是它的结论是否正确,就不能像物理、化学等学科那样,对付一些结论可以用尝试来加以确认,而是依赖严酷的推理来证明;并且一旦由推理证明告终论,这个结论也就是正确的。

 

  数学科学具有广泛的严酷逻辑性特点,而在数学成长汗青中则有很多很是典范的例子。譬喻,对付无穷观念慢慢深入的熟悉,毕达哥拉斯学派对付无理数的发明,牛顿、莱布尼兹的微积分及其严酷化,随处持续却随处不行导的函数的结构,荟萃论悖论的结构,都很好地声名白数学的这种严酷的气魄威风凛凛和精力。

 

  数学中严谨的推理使得每一个数学结论不动作摇。数学的严酷性是数学作为一门科学的要求和担保,数学中的严酷推理要领是普及必要并有普及应用的。进修数学,不只进修数学结论,也夸大让门生领略数学结论,知道数学结论是怎么证明的,进修数学科学的要领,包罗个中富厚蕴涵的严酷推理要领以及其他的思想要领。假如数学解说对付一些重要结论不讲证明进程,就使解说代价大为低落。门生也经常由于对付一些重要而根基的数学结论的领略发生坚苦而不能实时获得西席的指导解惑而对数学进修失去乐趣和信念。按照对付新高中数学课程解说的一些观测,新课本中对付某些公式的推导,某些内容的讲授方面过于简朴,不能满意同窗的进修要求,出格典范的立体几许中的一些相关鉴定定理只给出结论,不给出证明,要领上回收了尝试科学验证尝试结论的要领举办操纵确认,就与数学科学的精力和要领纷歧致,先生们的意见较量多,是日前数学解说实践面对的一个题目。数学解说的一个重要方针是解说生思想的进程与要领,让门生充实熟悉数学结论的真理性、科学性,成长精密的逻辑思想手段。

 

  精密性水平的解嗣魅掌握虽然应该贯彻因材施教的原则,按照门生和解说现实作调适,数学课本(包罗在西席解说用书中)可提供精密水平差异的解说方案,备作选择和参考。譬喻,对付平面几许中的平行线分线段成比例定理,在现实解说中就可以按照解说现实环境回收三种差异的解说方案,第一种是初中数学课本(如人民教诲出书社中学数学室编写的《九年任务教诲三年制低级中学教科书几许第二册》)广泛回收的,即从非凡的气象作说理,不加证明把结论推广到一样平常气象;第二种是用面积要领来获得定理的证明(如录用教诲出书社中学数学室编写的《任务教诲初中数学尝试讲义几许第二册》的证明要领);第三种则别离就比值是有理数、无理数的差异环境来加以证明,是精密性要求较高,对门生的思想手段要求也较高的一种解说方案(如前苏联的某些初中数学课本的解说要求)。可以必定,恒久差异水平的解说要求的差别也天然导致门生数学手段的较大差别。从作育人才的角度熟悉,虽然应该为差异的门生存划差异的解说方案,才气有利于门生获得充实的成长。

 

  另外,数学科学中逻辑的精密性不是绝对的,在数学成长汗青中精密性的水平也是慢慢增强的,譬喻欧几里得的《几许本来》曾经被作为逻辑精密性的一个规范,但后人也发明个中存在不严酷,证明进程中也经常依靠于图形的直观。在中学数学解说中作育门生逻辑思想手段的题目上,要留意精密的适度性题目,在这方面,我国中学数学课本事变者和宽大西席在初等数学内容的解说处理赏罚上作了很多研究,很多处理赏罚方法反应了中门生的熟悉程度,具有重要代价,譬喻,中学代数解说中很多运算性子的解说,其逻辑严酷性不行能到达作为科学意义下数学理论的严酷水平,一向以来的处理赏罚要领是根基公道的。

 

  另外,在数学解说上追求逻辑上的精密性必要有解说时刻的担保,中门生进修时刻有限。今朝,在实验高中数学新课程往后,各地现实解说反应解说内容多而课时紧的抵牾较量突出,解说中适内地镌汰了一些对中门生来说较量抽象,或难度较大,或综合性较强的解说内容,使解说时刻较量丰裕以利于门生消化接收常识。在今朝的高中数学新课程试验中,解说内容的量奈何才较量公道,让一部门高中门生可以或许学得了的新增的数学选修课内容(尤其是选修系列四的部门专题)切实获得实验,以贯彻落实新高中课程的多样性和选择性,也是值得继承切磋的重要题目。

 

  与此相干的一个题目,数学解说要处理赏罚好进程与功效的相关。进修数学根基而重要的日标是会办理各类题目,过度地夸大数学解说中的逻辑与证明又会导致常识面不宽,甚至对付很多影响深远、应用普及的数学要领相识不足。这声名,数学教诲一方面应该重视逻辑思想手段的作育,还应该重视科学精力的作育,数学头脑要领的了解。就数学结论的严酷性和精密性,严酷和精密的立场是必要的,可是,在一些特定的解说阶段,只要不导致逻辑思想手段的低落,不影响门生对付结论的领略,对付某些类同的数学定理的证明应该可以省略,这应该不会影响数学手段的作育。

 

  其他科学事变为了证明本身的论断经常告急于尝试,而数学则依赖推理和计较来获得结论。计较是数学研究的一种重要途径,以是,中学数学解说必需作育门生的数目见识和运算手段。此刻的计较器材越发先辈,还可以借助于大型的计较体系,这使计较手段可以大大增强。新的高中数学课程增设了算法的内容,充分了概率统计、数据处理赏罚的内容,在高中技能课程中又增进了“算法与措施计划”模块,这浮现了计较机和信息期间对付作育运算手段的新要求。从今朝中学数学现实解说环境看,算法内容的解说因为技能前提的限定而存在落实不足的环境,应该办领略说中存在的现实坚苦,如算法在计较机上真正实现运算,使解说落到实处,这就涉及计较机说话的题目,但在中学数学课程中直接引入计较机措施计划说话又好像使中学数学解说的内容过于技能化和专门化,这是值得研究的一个题目。

 

  3.应用普及性

 

在一般糊口、事变和出产劳动以及科学研究中,数目相关和空间情势方面的题目是广泛存在的,数学应器具有广泛性。数学这门汗青久长的学科,在第二次天下大战以来呈现了空前的繁荣。在各分支的研究取得重大打破的同时,数学各分支之间、数学与其他学科之间的新的接洽不绝涌现,更明显地改变了数学科学的面孔。而意义最为深远的是数学在社会糊口的浸染的革命性变革,尤为明显的是在技能规模,跟着计较机的成长,数学渗入各行各业,而且物化到各类先辈装备中。从卫星到核电站,从气候预告抵家用电器,新技能的高精度、高速率、高自动、高安详、高质量、高服从等特点,无一不是通过数学模子和数学要领并借助计较机的计较节制来实现的。计较机软件技能在高新技能中占了很大比重,而软件技能说到底现实上就是数学技能,数字式电视体系,先辈民航飞机的全数字化开拓进程,大量的例子声名白,活着界范畴数学已经表现出第一出产力的天性,她不单是支撑其他科学的“幕后好汉”,也直接活泼在技能革命第一线。数学对付今世科学也是至关重要的,各门学科越来越走向定量化,越来越必要用数学来表达其定量和定性的纪律。计较机自己的发生和前进就凶猛地依靠于数学科学的盼望。险些全部重要的学科,如在名称前面加上“数学”或“计较”二字,就是现有的一种国际学术杂志的名字,这表白大量的交错规模不绝涌现,各学科正在充实操作数学要领和成绩来加快本学科的成长。关于数学应用的普及性题目,哈佛大学数学物理传授阿瑟·杰佛(Arthur Jaffe)在闻名的长篇论文《清算出宇宙的秩序──数学的浸染》(此文是美国国度研究委员会的陈诉《进一步繁荣美国数学》的一个附录)中作了精粹的阐述,他充实必定了数学在当代社会中的重要浸染;“已往的四分之一世纪中,数学和数理技能已经渗出到科学技能和出产中去,并成为个中不行支解的构成部门。在现今这个技能发家的社会里,打扫数学盲’的使命已经更换了旧日打扫文盲’的使命而成为当今教诲的重要曰标,人们可以把数学对付我们社会的孝顺比喻成氛围和食品对付生命的浸染。究竟上,可以说,我们各人都糊口在数学的期间──我们的文化已经数学化。在我们周围,神通宽大的计较机最能反应出数学的存在,……,若要把数学研究对我们社会的适用代价写出来,并声名一些详细的数学头脑奈何影响这一天下,那就可以写出几部书来。”他指出:“(1)高超的数学不管怎么抽象,它在白然界中最终必能获得现实的应用;(2)要精确地猜测一个数学规模到底在那些处全部用场是不行能的。”[2]有许大都学家经常对本身的头脑获得的应用感想不测。譬喻,英国数学家哈代(G H Hardy)研究数学纯粹是为了追求数学的美,而不是由于数学有什么现适用处,他曾自信地声称数论不会有什么现适用处,但四十年后质数的性子成了体例新暗码的基本,抽象的数论与国度安详产生了细密相关。“计较机科学家陈诉说每一点数学都以这样或那样的方法在现实应用中帮了忙,物理学家则对付数学在天然科学中异乎通俗的有用性’惊叹不已。”

 

  其次,数学教诲应该留意作育门生应用数学的意识和手段,这已经成为我国数学教诲界的共鸣。但应该留意的另一方面,数学的应用极其普及,在中小学有限时刻内,先容数学应用就必需掌握好度。数学的应器具有极度的普及性,任何一个数学观念、定理、公式、法例都有极广的应用。而过量和太过的数学应用题目的解说肯定影响数学基本理论的解说,而减弱基本理论的进修又将导致数学应用的减弱。在中学数学解说中,重在让门生起源相识数学在某些规模中的应用,熟悉数学进修的代价从而重视数学进修。其它,数学的应用也不只限于详细常识的现实应用,很重要的是一些数学见识和头脑在现实事变中的运用。中小学是打基本的时辰,所谓打基本首要是打数学根基常识和手艺的基本,要让门生有较宽阔的数学视野,不该该以在现实中是否直接有效作为尺度来抉择解说内容的弃取,也不该该要修业生数学学得并不多的时辰就去思量过最的应用题目。初中数学解说实践反应,一些传统的解说内容被删减对付门生数学进修发生了不良影响;高中数学新课本尝试回访也反应,高中数学教科书中某些部门现实题目份量“过重”,不少现实题目的例、习题配景太伟大,解说中需花许多时刻辅佐门生领略现实配景,冲淡了对首要数学常识的进修。现实上,门生介入事变后头临的现实题目会有很大的差别,门生的事变糊口配景差别也很大,门生对付现实配景、现实题目的乐趣会有很大的差别,其它现实题目涉及身分经常较多,对付中小门生,尤其是对付任务教诲中的门生而言经常显得较量伟大。数学在某一个非凡规模的应用就肯定涉及这个规模的很多专门化的常识,对付学天生为较大的坚苦。另外,学校教诲固然是为门生此后介入事变和出产作的筹备,但也不必让门生化过多时刻去思索成人阶段才会碰着的一些现实题目,有些现实题目不如留给成年人去思量。2001年,人民教诲出书社中学数学室约请北京大学数学科学学院田刚传授等谈数学教诲的有关题目,他们在谈到对付数学科学及其解说的观点时指出:数学首要照旧计较与推理,从数学中能学到的,最重要的是逻辑思想,抽象化的要领,这是一些广泛有效的对象;数学教诲中逻辑思想手段的作育要增强,就应用而言,今朝的信息技能中就很是必要很强的逻辑思想手段,尤其是编写措施,编程有长有短,短的堕落的也许性小一些,奈何才气短一些又办理题目,不呈现错误,这就必要逻辑思想;美国举办微积分的解说改良,用高级的图形计较器,能直观地看,用迫近的要领;技能能对直观地掌握数学有必然的辅佐,不外真正重要、有效的照旧用逻辑推导公式;数学教诲要教一些根基的对象。

 

  第三方面,数学具有普及应用,但并非全部门生城市去从事必要很深奥的数学常识的事变,单就直策应用数学的角度而言,不必每个门生都进修很高妙的数学理论。平凡黎民常常应用的是最根基的数学常识,进修数学很重要的目标是通过进修进步思想手段。以是,在中小学阶段,一方面数学解说要面向全体门生,使大家都有机遇得到精采的数学教诲,另一方面也应该按照门生的现实和他们的乐趣喜爱,按照每个门生的学业、智能成长拿手,让差异的门生在差异的方面获得差异的成长,虽然,对付筹划在科学和技能规模成长的门生肯定应该打下精采的数学基本。各人留意到,大量在中学阶段打下了精采数学基本的门生,包罗部门国际海内中学数学比赛中的优胜者,却没有在后续进修阶段继承以数学作为本身的首要成长偏向而选择其他的规模,而选择理工科专业的门生经常在大学阶段仍进修许多的数学科学的课程,这也声名白数学应用的普及性和数学对付学天生长的重要代价。

 

参考文献:

 

①恩格斯.反杜林论[M].北京:人民出书社,1999

 

②美国国度研究委员会.美国数学的此刻和将来[M].上海:复旦大学出书社.1986

 

本文曾颁发在《中学数学杂志》2009年第1期.

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